điều kiện : x,y,z khác 0

Ta có : \(3=\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}=\frac{y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2}{xyz}>0\)

Mà \(y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2>0\Rightarrow xyz>0\)

\(\Rightarrow\frac{yz}{x},\frac{xz}{y},\frac{xy}{z}>0\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương,ta có :

\(3=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge3\sqrt[3]{xyz}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi | x | = | y | = | z |

Do đó : \(3=3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}xyz=1\\\left|x\right|=\left|y\right|=\left|z\right|\end{cases}}\)

+) Trường hợp x,y,z > 0 ta được x = y = z = 1

+) trường hợp hai trong 3 số x,y,z là số âm, ta có ( x; y ; z ) = ( 1 ; -1 ; -1 ) và các hoán vị

vậy....

a) ĐKXĐ: \(x;y>0\)  

 Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{4y}{4xy}+\frac{4x}{4xy}=\frac{xy}{4xy}\)

\(\Rightarrow4x+4y-xy=0\)

\(\Rightarrow x\left(4-y\right)=-4y\)

\(\Rightarrow x=\frac{-4y}{4-y}=\frac{-4\left(y-4\right)-16}{-\left(y-4\right)}\)

\(\Rightarrow x=4-\frac{16}{4-y}\)

Để x nguyên dương =>\(\hept{\begin{cases}\frac{16}{4-y}< 0\\\left(4-y\right)\inƯ\left(16\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow4-y\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8;\pm16\right\}\)

Tìm nốt y và thay vào tìm ra x

a/ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)

Không mất tính tổng quát giả sử: \(x\ge y\)

\(\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\)

\(\Leftrightarrow0< y\le8\)

\(\Rightarrow y=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)làm nốt

b/ \(5\left(xy+yz+zx\right)=4xyz\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{4}{5}\)

Giả sử: \(x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\frac{4}{5}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{3}{x}\)

\(\Leftrightarrow0< x\le0\)

Nên vô nghiệm

ban copy link nay :http://olm.vn/hoi-dap/question/305600.html roi vao google tra la có

Ta có phương trình \(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3xyz\ge0\)

Ta lại có \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^4}=3xyz\sqrt[3]{xyz}\)

\(\Rightarrow3xyz\ge3xyz\sqrt[3]{xyz}\)

\(\Leftrightarrow1\ge\sqrt[3]{xyz}\ge0\)

\(\Leftrightarrow1\ge xyz>0\)

Vì x,y,z nguyên 

=> xyz=1

Vậy x,y,z là \(\left\{1,1,1;1,-1,-1;-1,-1,1;-1,1,-1\right\}\)

Cre: @tpokemont

\(\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sqrt{\frac{xy}{xy+z\left(x+y+z\right)}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}\right)\)

Tương tự: \(\sqrt{\frac{yz}{yz+x}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}\right)\) ; \(\sqrt{\frac{zx}{zx+y}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

\(Q=\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+1}+\frac{1}{\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+1}+\frac{1}{\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+1}\)

Đặt \(\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)

\(Q=\frac{1}{a^3+c^3+1}+\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}\)

Ta có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow Q\le\frac{1}{ac\left(a+c\right)+1}+\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}\)

\(Q\le\frac{abc}{ac\left(a+c\right)+abc}+\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}\)

\(Q\le\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow Q_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z\)

Giả sử \(x\ge y\ge z\) rồi giải